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B. Piropo
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15/01/2007
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a Cadeia Áurea
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Esta é a terceira coluna de uma série sobre “Um número muito especial”. A primeira, “Razão Áurea”, fez jus ao título: apresentou o número Fi, indiscutivelmente um número muito especial. Já na segunda dediquei-me a escrever sobre certo cavalheiro de Pisa, Leonardo, também conhecido por Fibonacci, matemático célebre por haver introduzido a notação arábica e o sistema numérico posicional de base dez na cultura ocidental e que, propondo um curioso problema baseado em uma fictícia criação de coelhos, nos apresentou uma interessantíssima seqüência de números na qual cada elemento é sempre a soma dos dois anteriores, a “Seqüência de Fibonacci”.

Aparentemente, dois assuntos inteiramente desconexos.

Ora, considerando-se que a segunda coluna é parte integrante da série, devia-se esperar que ela mencionasse em algum ponto o “número muito especial”. Não mencionou, nada foi escrito sobre ele e, curiosamente, pelo menos até o momento em que batuco estas linhas em meu sofrido teclado, mais de mil visitantes se deram ao trabalho de ler a segunda coluna e, nos comentários, nem um deles se manifestou sobre a aparente incongruência. Quer dizer: ou vocês, leitores, andam muito distraídos ou sabem mais sobre o assunto do que deixam entrever nos comentários. E conhecendo vocês como conheço depois de escrever aqui por quase dois anos, estou mais inclinado a crer na segunda hipótese que na primeira.

Mas presumamos que não. Imaginemos que sejam mesmo uma horda de distraídos. Nesse caso, cabe a mim levantar a questão: se a série é sobre “um número muito especial”, como uma coluna sobre a criação de coelhos do Sr. Fibonacci veio parar no meio dela? O que tem a seqüência de Fibonacci a ver com a razão Áurea?

Se você não sabe e se tem instalado no computador onde deve estar lendo estas mal traçadas linhas uma planilha eletrônica (qualquer uma, mesmo das mais simples), sugiro que faça uma experiência ainda durante a leitura. Falo sério: mesmo que você não tenha qualquer experiência no uso de planilhas, não siga simplesmente adiante lendo o texto. Antes, carregue sua planilha e faça a singela experiência que descreverei passo a passo nos próximos parágrafos. Ela não exige qualquer prática no uso de planilhas, será descrita da forma mais simples possível (os usuários mais experientes haverão de me desculpar pelo excesso de simplificação) e acredito que a achará interessante.

Planilha carregada? Então escreva, na célula A1, o dígito “0” (zero) e logo abaixo, na célula A2, o número “1” (um). Sua planilha deverá se apresentar assim:

Figura 1: primeiro passo.

Agora, vamos entrar com uma fórmula. Mas não se assuste, é coisa simples: na célula A3 digite o sinal de igualdade seguido de A2+A1 ou seja: “=A2+A1”, sem as aspas, exatamente como na Figura 2, e tecle ENTER (e não se surpreenda se sua planilha não se apresentar como no lado esquerdo da figura: apesar de você entrar com a soma, assim que teclar ENTER a planilha efetuará o cálculo e se mostrará com uma aparência semelhante à do lado direito da figura, já que a soma de um com zero resulta em um).

Figura 2: segundo passo.

Muito bem. Agora, vamos propagar a fórmula para as linhas de baixo. Não se preocupe com o jargão que a coisa é fácil: se você está usando Excel, clique na célula A3 para selecioná-la, mantenha apertada a tecla “Shift” e com a seta para baixo estenda a seleção até a célula A25. Sua planilha deverá apresentar um aspecto semelhante à imagem do lado esquerdo da Figura 3. Agora solte a tecla “Shift” (o trecho selecionado continuará marcado) e acione a combinação “Ctrl+D” (aperte a tecla “Ctrl” enquanto tecla “D”). A planilha assumirá o aspecto da imagem central da Figura 3. E parabéns: você acabou de calcular os primeiros 25 elementos da Seqüência de Fibonacci.

Figura 3: terceiro passo (seqüência de Fibonacci).

Incidentalmente: se você não está trabalhando com Excel e sua planilha não aceita o comando “Ctrl+D” para propagar a fórmula para baixo, terá um pouco mais de trabalho mas chegará ao mesmo resultado entrando com as fórmulas exibidas na imagem do lado direito da Figura 3. Parece complicado, porém assim que você reparar que cada uma delas representa a soma das duas células situadas imediatamente acima verá que a tarefa é realmente muito simples.

Feito? Admire um pouco sua seqüência de Fibonacci, eu espero. Repare como ela é harmoniosa, crescendo lentamente no princípio e mais rapidamente à medida que as parcelas aumentam. Terminou? Então vamos adiante. Nossa missão agora é, a partir do terceiro termo da seqüência (o segundo número “um”), dividi-lo pelo anterior e escrever o resultado na segunda coluna.

Não se preocupe que é mais fácil ainda. Basta entrar com a fórmula “=A3/A2” na célula B3. Depois, selecione esta célula e propague sua fórmula para baixo até a linha 25 da coluna B exatamente como fez com a fórmula da coluna A. A planilha com as fórmulas (que, lembre-se, desaparecem assim que você teclar ENTER ou “Ctr+D”) terá o aspecto da imagem da esquerda da Figura 4. E os valores dos quocientes, linha a linha, são os mostrados na coluna B da imagem do lado direito da mesma figura (expressos com sete casas decimais; se sua planilha mostra um número diferente de casas, certamente os valores não serão diferentes, apenas estarão arredondados).

Figura 4: Divisão de termos sucessivos da seqüência de Fibonacci.

Notou algo de interessante?

Para ajudar, veja a Figura 5, que mostra um gráfico onde a linha vermelha representa a variação dos valores dos quocientes de cada dois termos sucessivos da seqüência de Fibonacci e a linha azul é uma “linha de tendência”, representando o valor para o qual tende a convergir a série de valores da seqüência.

Figura 5: Gráfico da variação dos quocientes

Clique para ampliar...
Figura 1: Método tradicional e SDL.

Repare que depois de alguns valores a linha vermelha se torna praticamente horizontal, mostrando que os valores dos quocientes passam a não variar (na verdade variam, mas quase imperceptivelmente) e se fixam em torno de um dado valor (ou seja, em linguagem matemática, “tendem para este valor”). Justamente o valor mostrado pela linha de tendência. E adivinhe que valor é esse? É o mesmo que consta das últimas linhas da coluna B de sua planilha: 1,618034...

Mas veja você que mundo danado de pequeno, não é que escondido entre os coelhos do Mestre Fibonacci encontramos novamente o nosso velho amigo, o número Fi lá da primeira coluna?

Espantado por encontrá-lo em um local tão inesperado? Pois guarde seu espanto para as próximas colunas, onde você o reencontrará em locais ainda mais prodigiosos.

Mas por enquanto vamos mesmo ficar na seqüência de Fibonacci que ela ainda nos reserva algumas surpresas interessantes. Mesmo porque eu ainda tenho que arrumar um jeito de meter alguma coisa em binário no meio dessas colunas. Afinal isso aqui é um sítio sobre tecnologia da informática e um dos mais sérios que conheço. Portanto, pra não dizer que não falei de bits, sigamos adiante e vamos galhardamente descobrir a “golden string”.

Lembra dos coelhinhos da coluna anterior? Para refrescar sua memória, vamos repetir aqui a figura que representa sua árvore genealógica até a sétima geração, já que deveremos fazer algumas considerações sobre ela. Aqui está:

Figura 6: Árvore genealógica dos coelhos de Fibonacci

Agora, representemos por “N” (de “Nascido”) um casal de coelhos nascido naquele mês e por “M” (de “Maduro”) um casal de coelhos capaz de se reproduzir. E, sem importar com a linha de descendência (ou seja, com a cor dos coelhos), vamos refazer a figura acima, que então se transformará em:

Figura 7: Árvore genealógica “transformada”.

Muito bem. Agora examine a estrutura em árvore (isso mesmo, uma árvore genealógica também é uma estrutura em árvore ou uma estrutura hierárquica como a estrutura de pastas ou “diretórios” de seus discos rígidos, como bem sabe qualquer estudante que tenha algum conhecimento de algoritmos e estruturas de dados). Note que cada “N” gera um “M” no nível hierárquico imediatamente inferior (ou seja, no mês seguinte; não complica, Piropo!). E cada “M” gera um par “MN” no nível seguinte. Portanto, com base nesta simples observação, podemos determinar a lei de formação dos sucessivos níveis da árvore, ou seja, conhecer o conjunto de elementos de um determinado nível com base nos elementos do nível anterior. Basta para isto substituir no nível imediatamente abaixo cada “N” por um “M” e cada “M” por um “MN”. Compare a figura com o conjunto de linhas seguinte e veja se não tenho razão:

  1. N
  2. M
  3. MN
  4. MN M
  5. MN M MN
  6. MN M MN MN M
  7. MN M MN MN M MN M MN

e assim sucessivamente...

Bem, como no hipotético problema de Fibonacci um casal de coelhos pode assumir apenas dois estados, “Nascido” e “Maduro” (lembre, os coelhos de Mestre Fibonacci nunca morrem...) e como estes dois estados são mutuamente exclusivos (um casal não pode assumir ambos ao mesmo tempo) nós, que somos chegados a um computador, podemos fazer o que fazemos sempre nestas circunstâncias: representaremos um estado (o “N”) por “zero” e o outro (o “M”) por “um”. E lá vamos nós, em binário, dispensando as separações entre os conjuntos de zeros e uns:

0

1

10

101

10110

10110101

1011010110110

e assim sucessivamente...

Bem, agora esqueça o valor dos números binários acima. Preste atenção apenas em seu aspecto, ou seja, na ordem em que os “zeros” e “uns” se sucedem. Pegue uma linha qualquer. Por exemplo a sexta: (10110101). Repare que ela pode ser “decomposta” em duas partes: (10110) e (101). Mas acontece que a primeira parte é absolutamente igual à quinta linha, enquanto a segunda parte é idêntica à quarta. Percebeu?

Isso. Você pegou a “lei de formação” dos níveis hierárquicos: cada um é composto por um conjunto de dígitos (“cadeia” ou “string” de dígitos) encadeando ordenadamente (por isso o nome “cadeia”) as duas linhas anteriores. Veja se a sétima linha (1011010110110) não é exatamente igual ao encadeamento da sexta (10110101) com a quinta (10110).

O que lhe permite, sem grande esforço, gerar a cadeia que virá a formar a oitava linha que, mesmo não constando da relação, certamente será igual à sétima seguida da sexta, assim:

101101011011010110101

E com isso você pode gerar a oitava, a nona, a décima e todas as demais, até a última.

Ora, mas se cada cadeia é formada pela justaposição das duas anteriores, como será a última?

Bem, de uma coisa podemos ter certeza: ela será infinita e formada pela justaposição das duas anteriores, a penúltima seguida da antepenúltima (afinal, essa é a “lei de formação”). Essa cadeia infinita, gerada em consonância com a lei de formação estabelecida pela seqüência de Fibonacci, chama-se “Golden String” ou “cadeia Áurea”.

Mas como será ela?

Como será, na verdade, eu não sei. Há alguns fenômenos transcendentais, como a alma feminina e a real aparência do infinito, que por mais que eu tenha me esforçado em decifrar não me foi dada a ventura de conhecer. Em relação ao primeiro, confesso, continuo na mais profunda ignorância. Já quanto ao segundo, pelo menos no que diz respeito à cadeia Áurea, tenho algumas pistas interessantes.

Antes, no entanto, vamos refrescar nossas noções sobre números, em particular sobre os números racionais e irracionais. Eu mencionei alguma coisa sobre estes últimos na primeira coluna, mas não entrei em detalhes. Hoje vamos nos estender um pouco mais. Mas sem apelar para qualquer conceito de matemática avançada ou efetuar cálculos esotéricos. Serão apenas explicações simples e diretas, capazes de serem entendidas por qualquer leigo. Então vamos a elas.

Um número é dito “racional” quando pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, que apresenta a fórmula geral R = m/n onde “m” pode assumir qualquer valor e “n” deve ser diferente de zero. Chama-se “racional” porque representa uma “relação” ou “razão” (“ratio”) entre os dois inteiros.

Números racionais podem ser inteiros, como por exemplo 6 = 18/3, ou fracionários, como por exemplo 0,25 = 1/4. Mas entre estes últimos há alguns particularmente interessantes, que aparentemente jamais “terminam”. São as chamadas “dízimas periódicas” (“dízima”, no caso, significa “fração”; na verdade corresponde especificamente à fração “um décimo”, mas a palavra pode ser generalizada para representar qualquer fração). Por exemplo: a divisão de (ou “razão entre”) 1 e 3:

1/3=0,3333333.....

é um número cuja parte decimal se repete indefinidamente, o que é indicado pelas reticências no final. Nesse caso, o “período”, ou seja, a parte que se repete, é “3”. Outro exemplo seria:

5/13=384615 384615384615...

onde o período é “384615”. Em suma: o “período” pode ser mais ou menos longo, mas se o número é racional cedo ou tarde ele começa a se repetir. Inclusive nos casos das chamadas dízimas periódicas compostas, quando no início da parte fracionária há um ou mais algarismos que não se repetem, como:

647/90=7,18888888....

onde o período, “8”, só aparece a partir da segunda casa decimal.

Mas, seja lá como for, sendo o número racional, ou ele é inteiro (como “23”) ou pode ser representado por uma fração decimal finita (como 4,25) ou por uma dízima periódica simples (0,3333...) ou composta (7,188888...). Não há outra opção.

O que nos leva aos números “irracionais”, aqueles que não podem ser expressos por uma divisão (ou “relação”, ou “razão”) entre dois números inteiros.

Como os racionais, os números irracionais também podem ser expressos sob a forma de uma fração decimal. A diferença é que ao contrário dos primeiros, a parte fracionária dos números irracionais jamais “acaba” nem se repete (ou seja, não há “período”).

Você conhece pelo menos dois números irracionais. Eles são famosos, têm nome. Um deles é Pi. O outro é Fi. E se você não lembra, aqui vai um atalho para uma página de Ron Knott da Universidade de Surrey, na Grã Bretanha (citada na primeira coluna desta série) onde você encontrará uma < http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/Phi10000dps > representação de Fi com dez mil casas decimais (e poderia ser representado ainda com muitas mais; não se esqueça, ele não “acaba”). Se quiser se dar ao trabalho de consultá-la verá que não há qualquer tendência de repetição de conjuntos de dígitos na parte decimal, ou seja, não há período. Fi não é uma dízima periódica, é um número irracional.

Muito bem. E o que tem isso a ver com a cadeia Áurea, nosso assunto de hoje?

Bem, o Prof. Ron Knott dedica uma atenção muito especial à cadeia Áurea (como também ao número Fi e à razão Áurea; < http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/ > seu sítio foi e voltará a ser citado diversas vezes nesta série e é uma das melhores fontes de informação sobre o assunto). E da mesma forma que se dedicou a calcular Fi com dez mil casas decimais, deu-se ao trabalho de montar os primeiros dois mil dígitos (ou “bits”) da cadeia áurea. E publicou o resultado na página < http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrabBITS.html > “The Golden String”. Vale a pena ir até lá e dar uma olhada.

Mais que olhar, você pode interagir com ela.

Como a página foi programada em HTML puro (se não sabe o que é isso, esqueça; não é essencial para entender o resto) você pode deformá-la à vontade, estreitando-a ou alargando-a simplesmente movendo com o mouse a moldura lateral da janela de seu programa navegador. Com isso você pode fazer com que os dois mil dígitos se distribuam em linhas da largura que achar mais conveniente.

Vá até lá e veja. Por exemplo: arraste a moldura direita da janela até que cada linha tenha apenas treze dígitos e procure por seqüências que se repetem. No início, poderá até ficar animado. Como informa o próprio Prof. Knott, as duas primeiras linhas são idênticas (1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0) e são seguidas por mais três linhas também iguais (1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0). Depois vem uma diferente e nova seqüência de linhas que se repetem. Mas logo você irá reparar que após certo número de linhas cessa a repetição.

Mas nada o impede de alterar o número de dígitos de cada linha (sempre arrastando a moldura da janela do navegador) à procura de padrões. Tente. Procure uma situação em que todas as linhas sejam iguais, provando assim que a cadeia Áurea é formada por um conjunto de bits que se repete.

Se encontrar eu não apenas garanto sua indicação para o prêmio Nobel de matemática deste ano como aposto que sua candidatura será imbatível...

Não há repetição. O que mostra que o número Fi e a cadeia Áurea, a dos coelhinhos de Mestre Fibonacci, têm muito mais em comum do que se pode suspeitar (note que não estou afirmando que a cadeia Áurea é um número binário irracional apenas que, como na parte fracionária dos números irracionais, seus dígitos jamais se repetem, o que por si só já é um feito extraordinário para algo que tem um número infinito de elementos).

Para conhecer mais detalhes sobre essa relação e algumas propriedades curiosas da cadeia Áurea que eu decidi omitir para não tornar este texto demasiadamente “pesado”, visite a página <  http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrab.html > “The Golden String of 0s and 1s” também de Ron Knott. E caso se interesse realmente pelo assunto, sugiro também uma vista à página (em português) < http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm > “Alegria Matemática: Seqüência de Fibonacci: Propriedades matemáticas”, onde recomendo particularmente (mesmo para os que não têm pendores matemáticos) uma olhada na relação entre os números de Fibonacci e o Triângulo de Pascal.

E agora que já sabemos o que são Seqüência de Fibonacci e Razão Áurea e conhecemos algumas de suas curiosas relações, preparemo-nos para, nas próximas colunas, buscar sinais de sua presença no universo que nos cerca.

E aposto que você se surpreenderá ao encontrá-los em locais onde jamais imaginou que pudessem se esconder...

Anime-se: é daqui para a frente que esta série de colunas realmente se tornará interessante. Prometo.

Coluna anterior: < http://www.forumpcs.com.br/viewtopic.php?t=199020 > Um número muito especial II: Criando coelhos

Próxima coluna: em breve.

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B. Piropo


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