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B. Piropo
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05/02/2007
< Um número muito especial V: >
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Razão Áurea e Figuras Planas
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Na < http://www.forumpcs.com.br/viewtopic.php?t=200685 > coluna anterior mostramos algumas manifestações da razão áurea em figuras geométricas, como o triângulo Áureo, o pentágono regular e o místico pentagrama. Hoje veremos mais algumas não apenas como curiosidade mas, sobretudo, porque elas nos ajudarão a entender e encontrar novas manifestações da razão Áurea e do número Fi nas artes e na natureza.

Antes de prosseguir, um comentário. Fi é um número irracional e como qualquer número, irracional ou não, pode representar a relação entre duas grandezas, sejam elas dois comprimentos, duas áreas ou seja lá o que mais possa ser medido e expresso em números. Portanto, nada me impede de escolher um número qualquer, irracional ou não, e traçar figuras geométricas cujas proporções possam ser expressas por este número. Inclusive, naturalmente, Fi. Mas o que impressiona nas imagens que veremos a seguir é a extrema facilidade com que se pode gerar figuras planas regulares (ou seja, as que têm ângulos / lados iguais) a partir do número Fi ou, ao contrário, o grande número de relações que obedecem à razão Áurea (e, portanto, cujas proporções podem ser expressas pelo número Fi) em figuras regulares. E, querendo ou não, as figuras regulares têm algo de especial, alguma propriedade mística que faz com que elas exerçam particular atração sobre as mais diversas culturas ao longo de toda a história da civilização.

A figura regular mais óbvia que se pode formar a partir de uma razão Áurea é o decágono regular, um polígono de dez lados iguais inscrito em um círculo como mostrado na Figura 1.

Figura 1: decágono regular.

Mas isto é uma mera conseqüência do fato de que dividindo-se os 360º de uma circunferência em dez ângulos iguais chega-se ao ângulo interno do decágono regular, 36º, nosso velho conhecido por se tratar do ângulo do vértice de um triângulo Áureo. Assim, o decágono regular nada mais é que a justaposição de dez triângulos Áureos, o que justifica o fato de que seu lado mantém a razão Áurea com o raio do círculo onde está inscrito (basta olhar a figura para entender o porquê disso; e, se não entender, reler a coluna anterior).

Mas essa não é a única figura plana envolvendo triângulos na qual se manifesta a proporção Áurea. Repare na imagem da esquerda da Figura 2.

Figura 2: Razão Áurea no triângulo eqüilátero inscrito.

Ela foi obtida inscrevendo-se um triângulo eqüilátero em uma circunferência, traçando as mediatrizes dos lados (mediatrizes estas que correspondem a raios da circunferência) e unindo os pontos médios dos lados inclinados do triângulo usando um segmento de reta que se estende para fora do triângulo até tocar a circunferência. Na figura 2, o trecho deste segmento designado com a letra “x” (e desenhado em vermelho) contido no interior do triângulo inscrito mantém a razão Áurea com qualquer dos trechos externos deste mesmo segmento, designados com a letra “y” (dos quais um deles está assinalado em azul). Ou seja: na imagem da esquerda da Figura 2, a razão entre “x” e “y” é Fi (x/y=Fi).

Se quiser pode interromper sua leitura neste ponto e tentar demonstrar a existência desta relação usando seus conhecimentos de geometria. Eu, humildemente, confesso que passei toda uma manhã desenhando triângulos no interior daquela maldita circunferência, unindo os pontos mais improváveis em busca de quaisquer eventuais semelhanças e homologias que me ajudassem a efetuar a demonstração e nada obtive além de uma imensa frustração. Decidi então apelar para o último e infalível recurso: uma busca no Google usando as expressões certas, que me levou à página < http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.03/phillip1.html > “Quandaries and Queries” da MathCentral – University of Regina, Canada, onde descobri que o “caminho das pedras” passava por um obscuro teorema da geometria euclidiana do qual eu havia me olvidado completamente cujo enunciado afirma que “se duas cordas de um círculo se intersectam em um ponto que divide a primeira corda nos comprimentos a e b, e a segunda nos comprimentos c e d, então a.b = c.d” (“If two chords of a circle intersect in a point that divides the first chord into the lengths a and b, and the second into the lengths c and d, then ab = cd”), representado na imagem central da Figura 2.

Com ele ficou fácil. Volte à imagem da esquerda da Figura 2 e perceba que dentre seus diversos segmentos de reta pode-se encontrar duas cordas que se cruzam, formadas pelo lado esquerdo do triângulo inscrito e pelo segmento que contém os trechos que formam a razão Áurea. O ponto de interseção divide o lado do triângulo inscrito em dois segmentos iguais (lembre-se: ele foi obtido traçando-se a mediatriz do lado). Já o outro segmento é dividido pelo ponto de interseção nos trechos “y” e “x+y”. Ora, mas o trecho “x” deste segmento foi obtido unindo os pontos médios dos lados inclinados do triângulo eqüilátero inscrito. Isto gera um segundo triângulo eqüilátero, menor, cujo lado mede justamente a metade do lado do triângulo maior. Portanto, os dois segmentos em que o lado esquerdo do triângulo inscrito é dividido não somente são iguais entre si como também são iguais a “x”, o lado do triângulo menor (que, na Figura 2, tem dois lados em verde e o terceiro, a base, em vermelho). Combinando-se estes conhecimentos com o teorema acima citado pode-se escrever que:

y . (x+y) = x . x

ou, dividindo-se ambos os membros por (x . y) vem:

(x + y)/x = x/y

o que estabelece a razão Áurea entre  (x + y) e x e entre x e y.

Outra relação interessante é a que aparece na Figura 3, onde se inscreveu um quadrado em uma semicircunferência. Nela, a razão Áurea se manifesta entre o lado do quadrado “x” e qualquer um dos trechos “y” do diâmetro que passa pelo lado inferior do quadrado e se estende até interceptar a circunferência.

Figura 3: Razão Áurea no quadrado
inscrito na semicircunferência.

Esta demonstração fica por sua conta. Dou apenas uma dica: ela se baseia no mesmo teorema usado para demonstrar a relação anterior usando a interseção de duas cordas. Uma delas é formada pelo lado vertical esquerdo do quadrado e seu prolongamento. A outra é o próprio diâmetro (que, afinal, também é uma corda). E o raciocínio é idêntico ao anterior.

Para entendermos o que as próximas situações têm de especial precisaremos recorrer à noção de “centro de gravidade” (CG). Se você já sabe do que se trata, salte os próximos parágrafos e siga para imediatamente depois da figura 5. Do contrário, examine a Figura 4 aqui embaixo.

Figura 4: sólidos tridimensionais
planos e seus centros de gravidade.

Imagine que a imagem da esquerda represente um objeto sólido de formato quadrado e de espessura constante. Digamos: um pedaço quadrado de uma chapa de aço. Mas, no nosso mundo ideal da física e da matemática, o quadrado terá uma forma regular perfeita, com ângulos exatamente retos e lados rigorosamente iguais e a chapa de aço terá espessura e densidade absolutamente homogêneas. As duas diagonais desta figura, representadas pelas retas tracejadas, cortam-se exatamente no centro do quadrado. Pois este é o centro de gravidade do sólido formado pela chapa de aço recortada. O que significa isso?

Significa que se levantarmos o objeto e o apoiarmos sobre uma haste vertical de maneira que o centro de gravidade se situe rigorosamente sobre a ponta da haste, ele permanecerá ali, absolutamente em equilíbrio, com sua massa uniformemente distribuída em torno da haste de tal forma que pode até girar horizontalmente em torno do centro de gravidade sem cair da haste. O centro de gravidade de um objeto sólido é, portanto, o ponto em torno do qual a massa do objeto se distribui de maneira absolutamente uniforme. Um objeto suspenso por seu centro de gravidade permanece em um tipo de equilíbrio conhecido por “indiferente”, ou seja, pode se mover em torno do centro de gravidade e parar em qualquer posição como uma roleta apoiada em seu pino central ou uma roda de bicicleta em torno de seu eixo.

Mas o que acontece se “tirarmos um pedaço” da chapa de aço? Por exemplo: o que ocorre se removermos um pedaço quadrado de um dos cantos, de tal forma que a chapa fique com o aspecto da imagem central da Figura 4? Bem, o centro de gravidade se desloca sobre a diagonal no sentido oposto ao vértice de onde foi removida massa. Ele assumirá uma posição semelhante à mostrada na imagem central da Figura 4. Agora, para que a nossa chapa recortada não caia da ponta da haste, a haste terá que ser colocada exatamente embaixo da nova posição do centro de gravidade.

Evidentemente, quanto mais massa for removida do objeto (ou seja, quanto maior o lado do quadrado removido do canto superior direito) maior será o deslocamento do CG no sentido do canto oposto. E a partir de certo ponto, irá sobrar tão pouca massa do sólido original que o centro de gravidade cairá fora dele, como mostrado na imagem da direita da Figura 4, tornando impossível mantê-lo em equilíbrio sobre a haste.

Este fenômeno do deslocamento do centro de gravidade à medida que se remove massa de um objeto ocorre em qualquer objeto sólido, seja qual for seu formato, regular ou irregular. Inclusive em um círculo do qual se remove um trecho igualmente circular como o mostrado no centro da Figura 5.

Figura 5: relações entre áreas.

Todas as três imagens da Figura 5 representam relações entre áreas. Nas duas da esquerda as relações envolvem a determinação do centro de gravidade e respondem à seguinte pergunta: que pedaço, quadrado ou circular, respectivamente, deve ser removido de uma placa homogênea de formato quadrado ou circular para que o centro de gravidade se desloque de forma a permanecer exatamente na borda do objeto formado pela parte remanescente? (Se ficou difícil entender, examine a figura e repare na posição do centro de gravidade CG representado pela cruz verde nas duas imagens da esquerda).

Sim, como você já deve ter adivinhado, a resposta é mais uma das inesperadas manifestações da razão Áurea: o trecho a ser removido é aquele cujo lado (do quadrado) ou diâmetro (do círculo), tanto em um caso quanto em outro designados por “y” na Figura 5, mantém a razão Áurea com o lado do quadrado ou diâmetro do círculo original, designados por “x” na Figura 5.

Já a terceira imagem da Figura 5 representa dois círculos concêntricos (em branco e amarelo) e uma elipse (em verde) situada entre eles. Que tem ela a ver com a razão Áurea? Simples: a relação entre os diâmetros dos dois círculos é Fi (x/y=Fi). E o que tem ela de especial? Bem, ela representa a única proporção entre raios dos círculos em que a soma das duas áreas amarelas em formato de crescente (trecho do círculo maior situado fora da elipse) é igual à soma das áreas verdes também em formato de crescente (trecho da elipse situado fora do círculo menor).

Apenas uma curiosidade, naturalmente. Mas não deixa de ser mais uma manifestação interessante da nossa conhecida razão Áurea (maiores detalhes sobre as figuras acima podem ser encontradas na seção “More Geometrical Gems” da página < http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html > “Two-dimensional Geometry and the Golden section” de Ron Knott).

Minha intenção original era incluir também nesta coluna dois temas correlatos à razão áurea: os “ladrilhos de Penrose” e a espiral de Fibonacci. Mas são temas tão fascinantes que se fossem tratados hoje ou esta coluna ficaria demasiadamente longa ou os temas seriam abordados com uma superficialidade que não lhes faria justiça.

Por isso decidi discuti-los na próxima coluna.

Que, para quem está gostando desta série, será realmente imperdível...

Até lá.

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Próxima coluna: Em breve.

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