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B. Piropo
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26/02/2007
< Um número muito especial VIII: >
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Fi e as artes
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Estamos a um passo do fechamento desta série. Já discutimos a história do número Fi, sua obtenção através da Seqüência de Fibonacci, o fato extraordinário de que ele representa uma relação muito particular entre dois comprimentos, a chamada “razão Áurea”, considerada a forma mais harmônica de se dividir um segmento de reta e vimos manifestações do número Fi, da razão Áurea e de retângulos e triângulos Áureos nas situações mais inesperadas e surpreendentes, como nos pentagramas, ladrilhos de Penrose e em praticamente todos os poliedros regulares.

Mas nada disso demonstra a importância da razão Áurea e de Fi para a humanidade. Afinal, com um pouco de prestidigitação matemática, pode-se extrair significados místicos de praticamente qualquer número.

Pois bem: para mostrar que de fato existe algo de peculiar no número Fi e na proporção Áurea, nesta coluna vamos ver como este número tão especial vem se manifestando ao longo da história da humanidade nas demonstrações mais extraordinárias da genialidade humana desde os primórdios da civilização.

E ao mencionar os “primórdios da civilização” não exagero. De fato, a primeira manifestação conhecida do número Fi e da proporção Áurea em uma grande realização humana ocorre justamente em uma das maiores, mais antigas e mais conhecidas obras do homem, não por acaso incluída entre as sete maravilhas do mundo antigo e que geralmente encabeça sua lista: a pirâmide de Queóps, também conhecida como “Grande Pirâmide de Gizé”, no Egito.

A Grande Pirâmide é parte de um complexo de obras monumentais erguidas no planalto de Gizé, nas vizinhanças da cidade do Cairo. O complexo inclui, além da Pirâmide de Queóps, a maior delas, as pirâmides de Quéfrem e Miquerinos e a Esfinge de Gizé. O lado direito da Figura 1 mostra as pirâmides de Queóps e Quéfrem, hoje quase engolidas pela mancha urbana do Cairo. A Pirâmide de Queóps foi construída há mais de quatro mil e quinhentos anos (mais exatamente no século 25 AC). É a maior das três e a mais conhecida.

Figura 1: Pirâmide de Queóps e o número Fi.

Pirâmides, como se sabe, são monumentos fúnebres. A de Quéops foi construída para abrigar os restos mortais do faraó de mesmo nome, cujo corpo mumificado foi depositado na câmara mortuária principal, a “câmara do Rei”. Segundo o sítio < http://www.klatu.com/lix/ > “The LIX Unit”, as dimensões desta câmara obedecem à proporção Áurea. Porém não é esta a mais impressionante manifestação do número Fi na Grande Pirâmide, mas sim outra, ligada às proporções do monumento em si mesmas, mostrada na imagem da esquerda da Figura 1: a relação entre o comprimento da bissetriz do ângulo superior de um dos lados triangulares (x) e o apótema da base quadrada (y) representa quase exatamente o valor de Fi. No sítio de Tony Smith há um longo artigo, < http://www.valdostamuseum.org/hamsmith/Gpyr.html > “The Great Pyramid”, dedicado quase exclusivamente a examinar as diversas manifestações de Fi na Grande Pirâmide de Gizé.

A harmonia que esta relação empresta aos objetos faz com que ela venha sendo usada ao longo dos séculos em obras arquitetônicas monumentais. Com efeito, a fachada de uma das mais conhecidas e veneradas delas, a Catedral de Notre Dame, construída no século XII em Paris, França, usa e abusa da razão Áurea como mostrado na Figura 2.

Figura 2: Catedral de Notre Dame, Paris, França.

Mas harmonia é um conceito atemporal, não depende de época nem de moda, como a fugaz noção de “beleza” (faça uma busca na Internet pelas imagens do quadro “Maja desnuda” de Goya e o compare com as fotos das esqueléticas “modelos/manequins” que enfei(t)am as passarelas dos desfiles de moda de hoje para perceber como a avaliação do que vem a ser “beleza feminina” evoluiu nestes últimos duzentos anos). Harmonia é mais que beleza, é um conceito que engloba também proporção, ordem e equilíbrio e cuja percepção vem se mantendo inalterada ao longo dos séculos. Portanto, o fato de serem encontrados abundantes exemplos do uso da razão Áurea também na arquitetura moderna não deve surpreender ninguém.

Figura 3: Lâmina principal do prédio da ONU, em Nova Iorque, EUA.

Uma das edificações mais conhecidas do mundo moderno é o monumental conjunto arquitetônico que abriga a sede mundial das Organizações das Nações Unidas em Nova Iorque, EUA. Nele se destaca por sua imponência a grande lâmina vertical onde se localizam os escritórios, mostrada em destaque na Figura 3. Como a foto foi obtida do solo, em frente ao prédio, as dimensões da lâmina aparecem deformadas por efeito da perspectiva. Mas notem os três retângulos assinalados em vermelho, nitidamente delineados na construção. Talvez não se possa medir na figura, mas uma observação do desenho da fachada do prédio comprova que seus lados mantêm a proporção Áurea.

Figura 4: Torre CN, Toronto, Canadá.

E, já que falamos em estruturas monumentais, não podemos esquecer a “Torre CN” (seu nome deve-se à empresa ferroviária “Canadian National”, construtora e original proprietária da torre), símbolo da cidade de Toronto, no Canadá e mostrada na Figura 4. Ela é considerada como a estrutura mais alta do mundo em terra firme e não sustentada por cabos. Segundo a Wikipedia, sua altura é de 553,33 metros (caramba! Precisão de centímetros...) e seu observatório principal situa-se a uma altura de 342 metros (para comparação: ainda segundo a mesma fonte, a altura do Pão de Açúcar, no Rio de Janeiro, é de 366 metros). Divida a altura total pela do observatório com precisão de três casas decimais e obtenha exatamente 1,618. Teria sido por acaso?

Bem, se você acha que foi acaso, então vejamos mais um exemplo, o conjunto de edificações conhecido como “Engineering Plaza” que abrigará as instalações da faculdade de engenharia da Universidade Politécnica Estadual da Califórnia, EUA, a “Cal Poly”. Repare, na planta mostrada do lado esquerdo da Figura 5, que todo o complexo foi projetado em torno de uma forma básica, a espiral de Fibonacci, que se desenvolve em toda a área, determinando a orientação geral do projeto. E note, na foto do lado direito da mesma figura, que não se trata de acaso: a espiral está claramente desenhada no piso da área central da Plaza, ainda em construção. Neste caso os arquitetos deixaram claro que prestavam uma homenagem a Fibonacci, sua seqüência e ao número Fi na própria concepção do projeto.

Figura 5: “Engineering Plaza”, Cal Poly, Califórnia, EUA.

Mas o conceito de harmonia não se esgota na arquitetura. Pelo contrário, ele se estende a todas as artes plásticas, inclusive e principalmente à pintura, e já há muitos séculos.

Talvez o pintor que mais apelou para a Divina Proporção em seus trabalhos tenha sido justamente o mais conhecido e genial deles, Leonardo da Vinci.

Que Da Vinci tinha pleno conhecimento da proporção Áurea e de suas propriedades não resta dúvida. Seu principal mentor, colaborador e professor de matemática foi Luca Pacioli, um frade Franciscano que se tornou conhecido como “o pai da contabilidade” por haver concebido o sistema de “dupla entrada”, a base na qual se assenta a ciência da moderna contabilidade.

Figura 6: Luca Pacioli (fonte: Wikipedia).

Pacioli foi um matemático conhecido. A Figura 6 mostra um retrato seu (pintura atribuída a Jacopo de Barbari). Repare nos utensílios na mesa em frente a ele: um pequeno quadro de giz coberto com desenhos de formas geométricas, giz, um compasso, um livro e um modelo do nosso conhecido dodecaedro. Em segundo plano um modelo de um curiosíssimo sólido cujas faces são, alternadamente, quadrados e triângulos eqüiláteros, o “rombicuboctaedro” (se o assunto lhe interessa, consulte <  http://en.wikipedia.org/wiki/Rhombicuboctahedron > o verbete correspondente da Wikipedia em Inglês para saber mais sobre este interessantíssimo sólido, inclusive apreciar um modelo tridimensional rotativo).

Pacioli publicou diversas obras importantes para a matemática e geometria, entre as quais o livro “De Divina Proportione” sobre a razão Áurea e suas aplicações na arquitetura e pintura. Tendo ele sido o mentor de Da Vinci e tendo ambos convivido por muitas décadas, não há dúvida que Leonardo tinha pleno conhecimento das teorias de Pacioli.

A obra de Leonardo Da Vinci é extensa, sobejamente conhecida e absolutamente genial. Leonardo talvez tenha sido uma das personalidades mais importantes da história da humanidade. Além de pintor de habilidade inexcedível, era também arquiteto, inventor, cientista, matemático, anatomista, engenheiro, escultor, músico e escritor, mantendo o mesmo nível de genialidade em todas estas atividades. Concebeu coisas que somente puderam ser materializadas séculos depois, como o helicóptero, o tanque de guerra, o uso de luz solar concentrada para gerar calor e energia, o casco duplo para embarcações e a primeira máquina de calcular. Alguns de seus inventos entraram na linha de produção séculos mais tarde praticamente inalterados, como a bobinadora de tecidos e a máquina para medir a resistência à tração de fios metálicos. Foi o primeiro engenheiro hidráulico de renome. Segundo a Wikipedia, Leonardo “é amplamente considerado um dos maiores pintores de todos os tempos e o homem de talento mais eclético e prodigioso que jamais viveu” (“is widely considered to be one of the greatest painters of all time, and the man with the most diversely prodigious talent ever to have lived”).

Dentre suas pinturas, destacam-se três por sua beleza e expressividade, duas delas talvez as mais conhecidas do mundo: a Mona Lisa e a Última Ceia (esta última é na verdade um afresco, pintura sobre uma parede). Nas três há abundantes sinais de que os conceitos da proporção Áurea foram explorados.

Figura 7: A Anunciação (Leonardo Da Vinci).

Comecemos pela Anunciação, que representa a cena do Arcanjo Gabriel anunciando à Virgem Maria que ela conceberia Jesus Cristo. A tela, uma das primeiras pinturas conhecidas de Leonardo, foi produzida entre os anos de 1472 e 1475 e é exibida na Figura 7, obtida da Wikipedia. Repare nas quatro linhas traçadas em vermelho, azul, amarelo e verde: cada uma delas divide a tela exatamente na razão Áurea e todas tocam pontos da figura que sobressaem por sua importância. A linha amarela passa exatamente sobre o muro que separa o jardim em primeiro plano das árvores ao fundo. A verde passa sobre o tampo da pequena mesa de mármore em frente à Virgem, que reproduz a tumba de Piero e Giovanni de Medici na Basílica de San Lorenzo em Florença, Itália. Mas as linhas verticais são ainda mais interessantes de se observar. Primeiro porque cada uma delas divide a cena em duas partes que destacam, respectivamente, o Arcanjo e a Virgem. Depois, porque passam por linhas igualmente salientes: o eixo de uma das árvores em segundo plano, junto ao Arcanjo, e a aresta da parede por detrás da Virgem. Sabendo-se da intimidade que Leonardo desfrutava com o conceito da razão Áurea, dificilmente isto pode ser considerado acaso. Porém, o mais importante: repare como a “distribuição de massas”, ou seja, as posições relativas das principais figuras da cena e sua localização em relação ao todo, passam uma sensação de harmonia e equilíbrio.

Figura 8: A Última Ceia (Leonardo da Vinci).

A Última Ceia foi pintada por Leonardo duas décadas mais tarde, entre os anos de 1495 e 1498, por encomenda do Duque Ludovico Sforza para ornar uma das paredes do refeitório do Convento de Santa Maria das Graças em Milão, Itália, e representa a cena narrada na Bíblia (João, versículo 13:21) em que Jesus Cristo comunica aos apóstolos que será traído por um deles. Esta pintura apresenta diversas particularidades. Uma delas é que, sendo um afresco pintado há mais de meio século, passou por um processo natural de deterioração e já foi submetida a diversas restaurações, tendo a primeira delas ocorrido em 1726. Outra é que, apesar de ser considerada uma das pinturas mais valiosas do mundo, como foi pintada sobre a parede de um convento jamais “pertenceu” a qualquer pessoa e seu preço não pode ser avaliado. Finalmente: a cena é prenhe de simbolismos, com os doze apóstolos distribuídos claramente em quatro grupos de três elementos, exibindo emoções (magistralmente reproduzidas pela genialidade de Leonardo) que variam de surpresa, raiva, choque e incredulidade.

Agora, repare na figura e na linha verde que a divide exatamente na proporção Áurea. Note como ela passa justamente entre o tampo da mesa e os apóstolos. E repare na postura de Cristo, com os braços abertos: sua figura se inscreve quase exatamente em um triângulo Áureo obtusângulo. Seria acaso?

Figura 9: La Gioconda, ou Mona Lisa (Leonardo Da Vinci).

Finalmente, a Mona Lisa, ou La Gioconda, uma das últimas pinturas de Leonardo (foi concluída em 1507 e Leonardo morreu em 1519 aos 67 anos) e certamente a mais importante (segundo a Wikipedia é “uma das mais famosas pinturas do mundo; poucos trabalhos foram submetidos a tanto escrutínio e estudo”). Representa uma mulher de expressão enigmática, olhar místico e sorriso legendário. Há boatos que se trata de um auto-retrato, ou seja, a fisionomia é a do próprio Leonardo na pele de uma mulher (e de fato a comparação dos retratos de Leonardo com a Gioconda leva a esta impressão). Mas o fato é que não há retrato mais famoso sobre a face da terra.

Examine-o na Figura 9. Note, na imagem grande, à esquerda, como o tema principal se enquadra perfeitamente em um retângulo Áureo dividido por sua vez na razão Áurea separando a cabeça do busto. Porém as relações mais óbvias estão na própria face. Veja, nas três reproduções à direita, como retângulos Áureos enquadram a face e a testa (acima), o lado direito da face com a linha que passa pelo nariz (no meio) e o olho e a posição da pupila (abaixo; pode-se traçar retângulos idênticos enquadrando o outro olho). E veja como tudo isto agrega uma sensação geral de harmonia e equilíbrio à pintura. Mas, sobretudo: olhe novamente para a face da Gioconda, agora não mais pensando em apreciar a pintura, mas sim a mulher. Você a considera uma mulher particularmente bonita? Não lhe parece mais uma mulher sem atributos físicos extraordinários? Uma mulher, digamos, “comum”? Então como explicar que este seja o retrato mais famoso do mundo, a não ser pelo equilíbrio de suas linhas, pela genialidade do pintor e por sua capacidade de exprimir emoções sobre uma simples tela (na verdade, uma taboa: La Gioconda foi pintada sobre madeira)?

Porém a obra de Leonardo mais evidentemente ligada à razão Áurea não é nenhuma destas, mas o “Homem Vitruviano”, mundialmente conhecida. Mas como ela tem mais a ver com as manifestações da razão Áurea na natureza e não na arte, será discutida na próxima coluna, a (espero eu) última da série.

Figura 10: O Sacramento da Última Ceia (Salvador Dali).

E para que não se diga que o uso da proporção Áurea fica restrito à pintura clássica, vejamos um exemplo do catalão Salvador Felipe Jacinto Dali Domènech, Marquês de Pubol, um dos mais importantes pintores contemporâneos (faleceu em 1989), mestre do surrealismo, mais conhecido como Salvador Dali. Sua obra “O Sacramento da Última Ceia” mostrada na Figura 10 não é a mais conhecida mas é o mais ilustrativo exemplo do uso da proporção Áurea e de símbolos correlatos nas artes plásticas.

Repare nas linhas verde, branca e amarela que cortam o quadro. Todas elas dividem a figura na razão Áurea conforme mostrado pelos segmentos azuis e vermelhos. A primeira, horizontal, passa exatamente sobre o tampo da mesa, um dos pontos mais salientes da imagem. As outras duas passam, cada uma delas, exatamente sobre a cabeça dos apóstolos situados imediatamente à direita e esquerda de Jesus Cristo. A própria figura de Cristo, embora em posição diferente da pintada por Leonardo (Dali pintou Cristo com os braços dobrados) se inscreve perfeitamente em um triângulo Áureo obtusângulo. E, finalmente, toda a sala está contida em uma estrutura da qual aparecem apenas parcialmente quatro pentágonos, mas que indiscutivelmente é um dodecaedro. Mais simbologia envolvendo a razão Áurea, impossível...

Figura 11: três reprodutores de MP3.

E já que falamos na era moderna, repare na Figura 11 que mostra três aparelhos de reprodução de música no formato MP3 (“MP3 players”), o Ipod da Apple, o H10 da iRiver e o Zen da Creative. Qual deles lhe parece mais atraente? Qual tem o desenho mais harmônico? Nenhum deles tem a forma de um retângulo Áureo. A mim, o Zen parece demasiado “achatado” (razão entre lados de 1:1,47) enquanto o H10 é demasiadamente “espichado” (razão 1:1,75). Já o iPod, com sua relação de 1:1,67 (a que mais se aproxima da relação Áurea, de 1:1,618) me parece o mais bem proporcionado. Será esta a razão de seu sucesso? (os cartões de crédito, como já mencionamos em uma coluna anterior, são um retângulo Áureo quase perfeito, mas não acredito que seja esta a razão de sua popularidade...).

Para encerrar, não se pode mencionar “harmonia” sem falar de música. E, por mais que os leigos se espantem com isso, a teoria musical está fortemente ligada à matemática. O excelente e sempre citado sítio de Ron Knott, na sua página < http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html > “Fibonacci Numbers and The Golden Section in Art, Architecture and Music” dedica todo um capítulo para discutir exemplos de manifestações do número Fi na música, seja moderna, seja dos grandes mestres do passado. A página < http://goldennumber.net/music.htm > “Music and the Fibonacci Series” também trata do assunto, exibindo inclusive uma interessante imagem de um violino onde estão marcadas diversas ocorrências da proporção Áurea. Mas o exemplo mais interessante sem dúvida foi o que encontrei na página < http://www.thetanooki.com/2007/03/03/zelda-music-of-golden-proportions/ > “Zelda Music of Golden Proportions” do sítio “The Tanooki”, para a qual uma mensagem do membro do FórumPCs “D3monigths” (de quem não tenho o nome, apenas a identidade de usuário, ou “nick”) chamou minha atenção. Trata-se de um estudo extremamente metódico do fundo musical de um jogo, o “Legend of Zelda” no qual são mostrados (efetivamente mostrados: os trechos citados foram transpostos para o sítio e podem ser reproduzidos no sistema de som do micro) pontos onde acordes dissonantes ou rufos de tambores são introduzidos exatamente no “ponto Áureo” (ou seja, o instante que ocorre a 0,618 da extensão total da melodia) para agregar emoção à peça musical. O autor desce a detalhes que vão muito além de minha percepção de teoria musical e mostra seis trechos de 29 segundos cada para ilustrar musicalmente suas afirmações. Se seus conhecimentos de teoria musical (e de inglês) são suficientes, recomendo a leitura.

E assim fechamos esta coluna com a esperança de termos abordado pelo menos superficialmente algumas das principais ocorrências da razão Áurea nas manifestações artísticas da história da civilização. Cientes, porém, que apenas tangenciamos o tema, já que deve chegar aos muitos milhões o número de exemplos do uso da proporção Áurea nas artes plásticas, seja este uso intencional ou não (muitos ocorreram apenas porque o artista achou que aquele ponto, posição ou dimensão era o que conferia maior harmonia ao trabalho, por vezes sem ter consciência que estava usando a proporção Áurea).

Agora é esperar pela última coluna da série, a que trata das manifestações da proporção Áurea e do número Fi na natureza. Aí, sim, você ficará surpreso. Até lá.

Coluna anterior: < http://www.forumpcs.com.br/viewtopic.php?t=202579 > Um número muito especial VII: Espiral Fibonacci e Poliedros

Próxima coluna: Em breve.

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