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B. Piropo
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12/02/2007
< Um número muito especial VI: >
<
ladrilhos de Penrose
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Eu pretendia encerrar nesta coluna a parte da série que trata das manifestações puramente geométricas do número Fi e da Razão Áurea em grande estilo abordando dois assuntos: os “ladrilhos de Penrose” (“Penrose Tiles”) e as espirais áureas. Acontece que o primeiro se revelou tão interessante e com desdobramentos recentes tão surpreendentes que acabou por ocupar a coluna inteira, me obrigando a deixar o segundo para a próxima.

Vamos então aos ladrilhos de Penrose, um assunto que trata de polígonos regulares. Mais particularmente discute a forma de dispô-los em uma superfície de forma a cobri-la ou revesti-la completamente, sem lacunas ou falhas, como ladrilhos ou azulejos revestem pavimentos e paredes. Quando feito com um número reduzido de formas geométricas que se repetem, este tipo de revestimento costuma ser “periódico”, ou seja, os trechos das figuras formadas por eles se repetem periodicamente e exibem simetria.

Mas o que é “simetria”? Ou melhor: como defini-la? Todos nós temos uma noção intuitiva do que este conceito representa e podemos reconhecer facilmente se uma figura é ou não simétrica. Mas do ponto de vista da geometria há uma definição formal da qual nem sempre nos damos conta. Segundo o dicionário Houaiss, sob a rubrica “geometria”, a definição de “simetria” é: “transformação geométrica que não altera a forma, as dimensões ou qualquer outra propriedade de uma figura”. Simplificando: se uma figura é dotada da qualidade de simetria, pode-se fazer uma cópia dela e movê-la para uma nova posição ou girá-la em certo ângulo (ou seja, fazer uma “transformação geométrica”) e, ao sobrepor-se a cópia á imagem original, obter-se uma coincidência perfeita, uma sobreposição exata de suas partes. No primeiro caso (mover a cópia) temos uma simetria translacional. No segundo (girar a cópia), uma simetria rotacional. Para entender melhor o conceito, veja-o em ação na animação 1 que mostra uma figura onde há simetria tanto translacional quanto rotacional (há ainda dois outros tipos de simetria: a especular, ou reflexiva, e um quarto tipo que é a combinação da simetria especular com a translacional, a “glide reflection”; ver detalhes na página < http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/symmetry.html > “Simmetric Tilings”).

Animação 1: Conceito de Simetria Geométrica.

Assim, é possível revestir uma superfície plana utilizando ladrilhos ou azulejos com o formato polígonos regulares de três, quatro e seis lados (triângulos eqüiláteros, quadrados e hexágonos regulares) como se pode perceber nas três primeiras imagens da Figura 1 – que apresentam todos os quatro tipos de simetria. Mas é impossível fazer o mesmo com o pentágono regular, o polígono regular de cinco lados. Qualquer tentativa resultará em uma superfície com lacunas ou hiatos no revestimento, como a quarta imagem da Figura 1.

Figura 1: Ladrilhos ou azulejos.

No caso dos polígonos regulares de três, quatro e seis lados, é fácil perceber que tanto a perfeita justaposição dos “ladrilhos” quanto sua simetria deve-se ao fato de que os ângulos internos dos polígonos que os formam são divisores exatos de 360º (caso do quadrado, 90º ou 2*P/4; no do triângulo 60º ou 2*P/6; e no hexágono 120º ou 2*P/3) o que permite que um número inteiro deles possam “encostar” sem deixar espaços, enquanto o pentágono, cujo ângulo interno é 108º, não permite que isto ocorra. Mas se você reparar bem na imagem mostrada no canto inferior direito da Figura 1, obtida ao se tentar montar um revestimento com um pentágono regular, verá que ela tem algo de especial.

Repare bem nela. Note, sobretudo, o formato dos “hiatos”, os espaços deixados entre os pentágonos. Não lhe faz recordar uma figura conhecida?

Cada um deles é formado pela justaposição de dois “triângulos Áureos” acutângulos (triângulos isósceles com ângulo do vértice medindo 36º) unidos pelas bases.

Figura 2: Pentágonos justapostos.

Então, vamos examinar a figura com mais atenção. Primeiro, vejamos como fica quando destacamos sobre ela em verde-claro as linhas mais importantes que formam os pentágonos e suas subdivisões. O resultado é o conjunto de pentágonos justapostos mostrado na Figura 2.

Examine esta figura com atenção. Note que as linhas verde-claro permitem subdividir os pentágonos em um conjunto de figuras elementares. Na verdade, em diversos conjuntos de figuras elementares. Por exemplo: cada pentágono pode ser subdividido em um pentagrama (a “estrela de cinco pontas” discutida < http://www.forumpcs.com.br/viewtopic.php?t=200685 > em uma das colunas anteriores desta série) e em cinco triângulos Áureos com ângulo do vértice de 108º, pentágonos que por sua vez são cercados por outros triângulos Áureos acutângulos nas lacunas entre eles.

Há diversas possibilidades de subdividir a figura em polígonos elementares, mas uma das mais interessantes para nosso tema é a mostrada na Figura 3, onde ela foi inteiramente subdividida usando apenas quatro polígonos: nossos velhos conhecidos triângulos Áureos (o acutângulo em amarelo, o obtusângulo em vermelho) e dois losangos (em magenta e verde), cada um destes últimos formado unindo-se pelas bases dois triângulos Áureos idênticos. Os quatro polígonos apresentam apenas quatro ângulos internos: 36º, 72º, 108º e 144º (se expressos em radianos os ângulos seriam: P/5; 2P/5; 3P/5 e 4P/5).

Figura 3: Decomposição dos pentágonos em polígonos elementares.

Repare na figura. Ela não apresenta qualquer tipo de simetria (sim, partes delas são simétricas mas não toda a figura) mas cobre completamente a área subjacente. E mais: se você reparar no perímetro da figura concluirá facilmente que pode-se continuar acrescentando mais polígonos elementares idênticos aos existentes até cobrir inteiramente qualquer extensão da superfície sem deixar hiatos ou lacunas. Ou seja: é possível usar uma combinação destes polígonos como ladrilhos ou azulejos para pavimentar ou revestir uma superfície mesmo não sendo eles polígonos regulares. A única propriedade especial que têm em comum é que todos eles são triângulos Áureos ou combinações de triângulos Áureos, ou seja, quase todas as suas linhas estão na razão Áurea.

Há alguns anos (mais especificamente na década de setenta do século passado) Sir Roger Penrose, professor de matemática da Universidade de Oxford, Inglaterra, e especialista em matemática recreacional (sim, existe; afinal, é justamente isso que estamos fazendo, pois não?), dedicou-se à solução de um problema que vinha apoquentando a mente de muitos de seus colegas: como revestir inteiramente uma superfície combinando polígonos como se fossem ladrilhos (sem lacunas ou sobreposições) mas de tal forma que o desenho resultante não fosse periódico, ou seja, não exibisse qualquer tipo de simetria. Este tipo de revestimento denomina-se “aperiódico” ou “quase-simétrico” e até então não se havia encontrado uma solução para o problema.

Trata-se de um problema que não admite solução computacional. Ou seja: não pode ser resolvido com o uso de computadores. Tudo o que é preciso são um notável conhecimento de geometria euclidiana, muito papel e lápis e, sobretudo, um estoque quase infinito de paciência. Depois de anos de tentativas infrutíferas experimentando, literalmente, milhares de polígonos, em 1974 Sir Penrose reduziu sua coleção de formatos a apenas seis e, além disso, descobriu uma forma de resolver o problema combinado apenas dois deles. Estes formatos foram denominados de “ladrilhos de Penrose” (“Penrose tiles”) e possibilitam revestir inteiramente uma superfície, sem lacunas, gerando um padrão que aparentemente se repete regular e infinitamente mas que um exame mais detido revela não apresentar qualquer tipo de simetria ou periodicidade.

Sim, você adivinhou, os ladrilhos de Penrose são combinações por justaposição de nossos velhos conhecidos triângulos Áureos. Veja-os na Figura 4.

Figura 4: Ladrilhos de Penrose.

Penrose batizou alguns deles. Ao triângulo Áureo obtusângulo mostrado em azul no canto superior esquerdo da Figura 4, denominou de “Achatado” (“Flat”). Ao acutângulo, em vermelho, ao lado dele, chamou de “Pontudo” (“Sharp”). Á combinação de dois “Achatados” mostrada no canto inferior esquerdo da figura batizou de “Dardo” (“Dart”). À de dois “pontudos” mostrada no centro da parte inferior da figura chamou de “Pipa” (“Kite”; na acepção também conhecida por “papagaio de papel” ou “pandorga”). Os outros dois, que eu saiba, não receberam a honra de uma designação especial por parte de Sir Penrose e, para facilitar, vamos chamá-los de “losango grande” e “losango pequeno” (se você tiver dificuldades em decidir qual dentre os que sobraram é o losango grande e qual é o pequeno, largue imediatamente esta coluna e passe a ler a revista “Caras” antes que o esforço provoque danos cerebrais irreversíveis).

Com os ladrilhos de Penrose pode-se formar desenhos de uma extraordinária variedade usando apenas criatividade e obedecendo a algumas regras básicas (veja um comentário sobre elas na página < http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/penrose.html > “Penrose Tilings” do sitio “ScienceU”). Aqui vão algumas amostras coletadas na Internet.

Figura 5: Desenhos em formato de “sol” e “estrela”.

A Figura 5, obtida em < http://mathworld.wolfram.com/PenroseTiles.html > “Wolfram Mathworld”, representa dois formatos clássicos de revestimento com ladrilhos de Penrose. Note que embora completamente diferentes, ambas são formadas exclusivamente com dois ladrilhos, o “dardo” e a “pipa”. Perceba ainda que ambos os desenhos podem ser alargados indefinidamente sem jamais se repetir nem apresentar qualquer tipo de simetria (embora pareçam simétricos a um olhar desavisado).

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Figura 6: Ladrilhos de Penrose.

As três imagens da Figura 6 foram obtidas em diferentes fontes. A da esquerda < http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pen0305c.gif > na Wikipedia, a do centro no < http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html > sítio do Prof. Ron Knott e a da direita na < http://goldennumber.net/penrose.htm > “GoldenNumber Net”. Reparem que todas elas foram geradas com o uso exclusivo dos ladrilhos “losango pequeno” e “losango grande” e formam uma imagem aperiódica. Notem, na imagem da esquerda, como os conjuntos de ladrilhos formam o contorno de decágonos regulares que por vezes se tocam, por vezes se entrelaçam. E percebam, sobretudo, como apesar da presença de um polígono regular (no caso, o decágono) o desenho é aperiódico, ou seja, jamais se repete nem apresenta simetria.

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Figura 7: Evolução de um desenho por “deflação”.

Finalmente a Figura 7, obtida combinando-se imagens individuais da Wikipedia, verbete < http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling > “Penrose Tiling”, mostra como é possível derivar figuras cada vez mais complexas a partir de uma combinação simples de um único tipo de ladrilho (“dardo”, na série superior, “pipa” na inferior) no qual se vão derivando recursivamente combinações com um segundo tipo (veja o artigo para conhecer as regras do procedimento) cada vez mais complexas. Todas elas usam apenas dois ladrilhos: “pipa” e “dardo”. E nenhuma delas apresenta qualquer simetria.

Figura 8: Sir Roger Penrose.

Como vocês devem ter percebido, tomei um cuidado muito especial ao citar as fontes de todas as imagens que exibem os ladrilhos de Penrose, inclusive sua foto exibida na Figura 8 e obtida na Wikipedia onde todas as imagens obedecem ao esquema de licenciamento “Wikimedia Commons” e podem ser usadas desde que citada a fonte.

Este cuidado deve-se ao fato dos direitos intelectuais sobre os ladrilhos pertencerem a Sir Roger Penrose, que é extremamente cioso deles. Tanto assim que em dezembro de 1997, tendo sua (dele) esposa retornado do supermercado com um pacote de rolos de papel higiênico, Sir Penrose constatou com “espanto e horror” (“astonishment and dismay”) que os mesmos vinham ilustrados com seus ladrilhos. E imediatamente processou a fábrica do produto alegando quebra de direitos autorais.

Sim, eu sei que a idéia de um augusto cavaleiro de Sua Majestade a Rainha da Inglaterra, um lorde inglês, Professor Doutor de Oxford, Sir Roger Penrose, empenhado em uma inglória contenda contra uma fábrica de papel higiênico parece risível, mas o assunto é sério. Se duvida, acompanhe os abomináveis detalhes na página < http://docs.law.gwu.edu/facweb/claw/penrose.htm > “Penrose Tiling v. Kleenex”, que lá estão para sua delícia e desfrute (quanto a mim, se alguma indústria congênere pretender veicular minhas colunas em seus rolos para leitura em fascículos enquanto se espera o tempo – e mais seja lá o que for – passar durante o período em que se está sentado no vaso sanitário imerso em pensamentos vazios, informo que estou inteiramente aberto para negociações).

O problema é que a fábrica do papel higiênico Kleenex não foi a primeira a estampar os ladrilhos de Penrose sem sua licença...

Senão, vejamos.

A cultura islâmica, como sabemos todos por razões que nada têm a ver com esta série de colunas, está fortemente impregnada de preceitos religiosos. Na verdade, para muitos muçulmanos, não há distinção entre manifestações religiosas e artísticas. Segundo eles, “todas as formas de arte, o mundo natural, a matemática e a ciência são criações de Deus e portanto manifestações da mesma coisa, a vontade de Deus expressa através de Suas Criaturas” (da Wikipedia, verbete Arabesque “all forms of art, the natural world, mathematics and science are all creations of God and therefore are reflections of the same thing (God's will expressed through His Creation)”. Portanto também a arte deve obedecer aos rigorosos preceitos do islã.

Um destes preceitos estabelece que é vedado ao homem tentar reproduzir fielmente qualquer criação Divina, já que o que Deus criou não pode ser imitado e tentar fazê-lo é uma ofensa séria às tradições religiosas islâmicas. Por esta razão não se encontram entre as artes plásticas dos países que fazem parte do Islã, o grupo das nações modernas que têm o islamismo como religião dominante, retratos, quadros reproduzindo pessoas ou mesmo paisagens (ou seja, quaisquer manifestações daquilo a que se convencionou chamar de “arte realista”). O que levou os artistas plásticos do Islã a prodígios de imaginação, especialmente no que diz respeito à ornamentação de templos religiosos e outros lugares considerados sagrados. Prodígios estes que levaram a criações magníficas como a mostrada na Figura 9, também obtida na Wikipedia.

Figura 9: Exemplo de caligrafia
Árabe.

Mas a caligrafia não foi a única forma de expressão dos artistas plásticos do Islã. Muito pelo contrário. Mais comuns e mais conhecidos que elas são os “arabescos”, cujo nome deriva justamente do fato de serem manifestações artísticas de origem árabe.

Sobre o assunto a Wikipedia em inglês (a edição em português não apresentava definição para o verbete quando esta coluna foi escrita) informa que “Um elemento da arte islâmica, usualmente encontrado na decoração das paredes de mesquitas, o arabesco é uma elaborada aplicação de formas geométricas que se repetem, formas que freqüentemente recordam as formas de plantas ou animais” (“An element of Islamic art usually found decorating the walls of mosques, the arabesque is an elaborative application of repeating geometric forms that often echo the forms of plants and animals”). E mais: “A escolha de quais formas serão usadas e como elas serão formatadas se baseia na visão islâmica do mundo. Para os muçulmanos, estas formas, tomadas em conjunto, constituem um padrão infinito que se estende para além do mundo material visível. Para muitos, no mundo islâmico, eles de fato simbolizam a natureza infinita, e portanto descentralizada, da criação do único Deus (Allah)” (“The choice of which geometric forms are to be used and how they are to be formatted is based upon the Islamic view of the world. To Muslims, these forms, taken together, constitute an infinite pattern that extends beyond the visible material world. To many in the Islamic world, they in fact symbolize the infinite, and therefore uncentralized, nature of the creation of the one God (Allah)”.

(Nos comentários favor levar em conta que estou apenas traduzindo conceitos expressos pela Wikipedia e não expondo minhas convicções pessoais sejam de caráter cultural sejam de cunho religioso. Portanto quaisquer contestações à visão acima exposta devem ser encaminhadas diretamente à Wikipedia já que minha intenção se resume a explicar o que são os arabescos e sua importância para a civilização islâmica, pois se tem uma coisa que aprendi aqui mesmo neste Fórum é que discutir conceitos de natureza religiosa não dá bom resultado).

Pois bem: seja lá como for, pondo de lado os aspectos religiosos da questão, os artistas plásticos árabes tiveram que se virar para ornamentar seus templos e lugares sagrados com desenhos e padrões que “lembrassem” (mas jamais copiassem) as criaturas da natureza. E conseguiram prodígios.

Pois não é que recentemente (mais especificamente em fevereiro de 2007) o físico Peter Lu, da Universidade de Cambridge, EUA, publicou na respeitabilíssima revista Science (edição 315, página 1106) um artigo onde relata que encontrou em visita ao Uzbequistão arabescos traçados há de mais de quinhentos anos exibindo rigorosamente os mesmos padrões dos ladrilhos de Penrose?

Figura 10: Girih no Mausoléu
de Seljuk Mama Hatun.

E Peter não se limita a matar a cobra, também mostra o pau, digo as fotos. A Figura 10 exibe uma delas (que para ser reproduzida aqui foi obtida no artigo < http://www.newscientist.com/article.ns?id=dn11235&feedId=online-news_rss20 > “Medieval Islamic tiling reveals mathematical savvy” do sítio “Breaking News”) onde aparece um tipo de arabesco denominado “girih” que ornamenta o Mausoléu de Seljuk Mama Hatun em Tercan, Turquia, erigido no ano de 1200.  Note, na parte de baixo da figura, que foi superposto à foto um trecho do padrão de desenho em que está baseado, evidenciando claramente a existência de ladrilhos de Penrose.

Mas não é só isso. A Figura 11 mostra, à esquerda, um detalhe da ornamentação de um dos arcos do alojamento do Sultão da Mesquita Verde da cidade de Bursa, na Turquia, datado de 1424 e, à direita, seu padrão baseado em, quem diria, ladrilhos de Penrose, desenhados mais de quinhentos anos antes que o bravo Lorde viesse a descobri-los. As ilustrações foram obtidas no artigo < http://arstechnica.com/journals/science.ars/2007/2/22/7180 > “Medieval Islamic patterns: Penrose, eat your heart out” do sítio Nobel Intent (título que pode ser traduzido livremente por algo como “Padrões medievais islâmicos: Penrose, morda-se de raiva”).

Figura 11: Arco da Mesquita Verde de Bursa, Turquia.

E finalmente, na Figura 12, obtida no artigo < http://www.ethanzuckerman.com/blog/?p=1249 > “Roger Penrose, only 550 years behind Islamic artisans” (“Roger Penrose, atrasado apenas 550 anos em relação aos artesãos islâmicos”) mostra a arcada do templo de Darb-i Imam em Isfahan, Irã, construído no ano de 1453. Compare-a com a imagem da esquerda da Figura 6 e veja se uma tem ou não algo a ver com a outra...

Figura 12: Arcada do templo de Darb-i Imam em Isfahan, Irã.

Até a publicação desta coluna não se tinha notícia da reação de Sir Roger Penrose à descoberta de seu colega Peter Lu. Mas não haverá de ser das mais alvissareiras. Mesmo porque a briga agora não é com uma fábrica de papel higiênico, é com os muçulmanos. E com milícia Talibã não se brinca...

Porém, sendo “invenção” de Penrose ou criações da arte islâmica, seus ladrilhos, a ornamentação das mesquitas e o revestimento aperiódico com polígonos não regulares não deixam de ser manifestações da razão Áurea e do número Fi.

Coluna anterior: < http://www.forumpcs.com.br/viewtopic.php?t=201555 > Um número muito especial V: Razão Áurea e Figuras Planas

Próxima coluna: Em breve.

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